Inequações: Como Resolver Inequações do 1.º Grau e Fraccionárias

Uma inequação é como uma equação, mas em vez do sinal de igual tem \(\lt\), \(\gt\), \(\le\) ou \(\ge\). A resposta não é um número: é um conjunto de números, normalmente um intervalo. Se já sabes resolver equações do 1.º grau, só tens de aprender uma regra nova e uma forma de escrever o resultado.

A única regra nova

Resolves exactamente como uma equação, com uma excepção:

Quando multiplicas ou divides os dois membros por um número negativo, o sinal da desigualdade troca.

\[-3x \lt 12 \;\Rightarrow\; x \gt -4\]

Porquê? Porque \(2 \lt 5\), mas \(-2 \gt -5\). Multiplicar por um negativo inverte a ordem dos números. Somar ou subtrair, mesmo números negativos, nunca troca o sinal.

Como escrever a solução em intervalos

Em Moçambique usa-se o parêntese recto virado para fora para indicar que o extremo não entra:

O infinito nunca entra, por isso fica sempre do lado aberto.

Inequações do 1.º grau com fracções

A pergunta 18 do exame do IFP de 2025 é um bom exemplo:

\[\frac{x}{2} - \frac{x}{4} \ge \frac{x}{3} + \frac{x}{5} - \frac{1}{2}\]

Multiplica-se tudo por 60, o menor múltiplo comum dos denominadores (60 é positivo, o sinal mantém-se):

\[\begin{gathered}30x - 15x \ge 20x + 12x - 30 \\ \Rightarrow -17x \ge -30 \\ \Rightarrow x \le \frac{30}{17}\end{gathered}\]

No último passo dividiu-se por \(-17\), e o \(\ge\) passou a \(\le\). Quem se esquece da troca escolhe a alternativa com \(x \ge \frac{30}{17}\), que estava lá à espera.

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Inequações com fracções de polinómios: o quadro de sinais

Quando o \(x\) aparece no denominador, não se pode multiplicar a inequação por ele, porque não sabes se é positivo ou negativo. Usa-se um quadro de sinais. Na pergunta 15 de 2024, pede-se a solução de \(\frac{x - 4}{x + 2} \le 0\):

1. Encontra os zeros de cima e de baixo: \(x = 4\) e \(x = -2\).
2. Estuda o sinal de cada factor em cada intervalo.
3. Multiplica os sinais (regra dos sinais) para obter o sinal da fracção.

A fracção é negativa entre \(-2\) e \(4\), e é zero em \(x = 4\). Em \(x = -2\) não está definida (n.d.), porque o denominador se anula. Solução:

\[\text{S} = \left]-2;\ 4\right]\]

O 4 entra porque a condição é "menor ou igual"; o \(-2\) nunca entra, porque não se divide por zero. É exactamente nesta diferença que as alternativas do exame tentam enganar.

Inequações duplas

Numa inequação como \(-1 \lt 2x + 3 \le 9\), trata-se os três membros ao mesmo tempo: o que fizeres ao do meio fazes aos outros dois. O exercício 5 abaixo mostra como.

Exercícios resolvidos

1. Resolve \(3x - 7 \gt 5\).

   Ver resolução

   \[\begin{gathered}3x \gt 12 \\ \Rightarrow x \gt 4 \qquad \text{S} = \left]4;\ +\infty\right[\end{gathered}\]

2. Resolve \(5 - 2x \ge 11\).

   Ver resolução

   Ao dividir por \(-2\), o sinal troca:

   \[\begin{gathered}-2x \ge 6 \\ \Rightarrow x \le -3 \qquad \text{S} = \left]-\infty;\ -3\right]\end{gathered}\]

3. Resolve \(\dfrac{x + 1}{2} - \dfrac{x}{3} \lt 1\).

   Ver resolução

   Multiplica-se por 6 (positivo, o sinal mantém-se):

   \[3(x + 1) - 2x \lt 6 \;\Rightarrow\; x \lt 3\]

4. Resolve \(\dfrac{x + 3}{x - 1} \gt 0\).

   Ver resolução

   Zeros: \(x = -3\) (numerador) e \(x = 1\) (denominador). O quociente é positivo quando os dois factores têm o mesmo sinal:

   \[\text{S} = \left]-\infty;\ -3\right[ \cup \left]1;\ +\infty\right[\]

5. Resolve \(-1 \lt 2x + 3 \le 9\).

   Ver resolução

   Faz-se a mesma operação nos três membros:

   \[\begin{gathered}-4 \lt 2x \le 6 \\ \Rightarrow -2 \lt x \le 3 \qquad \text{S} = \left]-2;\ 3\right]\end{gathered}\]

Depois das inequações

Vais encontrar inequações dentro de outras perguntas: no domínio de uma raiz (\(x + 3 \ge 0\)), na condição de existência de um logaritmo (\(x \gt 0\)) e no estudo de onde uma função cresce. Para treinar com provas inteiras, usa o arquivo de exames do IFP e as resoluções pergunta a pergunta.