Logaritmos: Propriedades, Equações e Exercícios Resolvidos

Um logaritmo responde a uma só pergunta: a que expoente tenho de elevar a base para obter este número? Quando escreves \(\log_2 8\), estás a perguntar "2 elevado a quanto dá 8?". Como \(2^3 = 8\), a resposta é 3.

\[\log_a x = y \;\Leftrightarrow\; a^y = x\]

Se guardares esta equivalência, consegues reconstruir quase tudo o resto. As propriedades, as equações e a função inversa saem dela.

As regras do jogo

Para \(\log_a x\) existir, há duas condições que os exames usam muitas vezes como armadilha:

• a base \(a\) é positiva e diferente de 1;
• o logaritmando \(x\) é positivo. Não existe logaritmo de zero nem de números negativos.

Quando a base não aparece, é 10: \(\log 100 = 2\). E \(\ln\) é o logaritmo de base \(e\) (cerca de 2,718), o logaritmo natural.

Valores que deves saber sem fazer contas

• \(\log_a 1 = 0\), em qualquer base, porque \(a^0 = 1\).
• \(\log_a a = 1\), porque \(a^1 = a\).
• \(\log_a a^n = n\) e \(a^{\log_a x} = x\): o logaritmo e a potência da mesma base anulam-se.

Propriedades dos logaritmos

Propriedade	Fórmula	Exemplo
Produto	\(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\)	\(\log 20 = \log 2 + \log 10\)
Quociente	\(\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\)	\(\log_3 \dfrac{81}{9} = 4 - 2\)
Potência	\(\log_a x^n = n \log_a x\)	\(\log 5^3 = 3\log 5\)
Mudança de base	\(\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}\)	\(\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}\)

O que não existe: \(\log(x + y)\) não é \(\log x + \log y\). A soma dos logaritmos corresponde ao logaritmo do produto, não da soma.

O que o exame do IFP pergunta sobre logaritmos

Nos exames de Matemática do IFP que resolvemos, os logaritmos aparecem de três maneiras.

1. Calcular um valor

Na pergunta 10 de 2022 (repetida em 2023), pede-se \(\log_3(81 \div 9)\). Faz-se primeiro a divisão: \(\log_3 9 = 2\). Também podias usar a propriedade do quociente: \(\log_3 81 - \log_3 9 = 4 - 2\). Dá o mesmo.

2. Escrever um logaritmo à custa de outros

Na pergunta 28 de 2025, sabe-se que \(\log 5 = x\) e \(\log 3 = y\), e pede-se \(\log 375\). O truque é decompor 375 em factores primos:

\[\begin{gathered}\log 375 = \log(3 \times 5^3) \\ = \log 3 + 3\log 5 \\ = y + 3x\end{gathered}\]

3. Encontrar a função inversa

A inversa de um logaritmo é uma exponencial, e vice-versa. Na pergunta 32 de 2022, com \(f(x) = \log_2(x - 2)\):

\[\begin{gathered}y = \log_2(x - 2) \\ \Rightarrow 2^y = x - 2 \\ \Rightarrow f^{-1}(x) = 2^x + 2\end{gathered}\]

Em 2023 a base mudou para 3 e a resposta passou a \(3^x + 2\). Em 2025, a pergunta 29 fez o caminho contrário: partiu de \(y = e^{-5x} + 1\) e a inversa deu um logaritmo, \(-\frac{1}{5}\ln(x - 1)\).

Equações logarítmicas sem cair na armadilha

Resolver uma equação com logaritmos tem sempre três passos:

1. Escrever a condição de existência antes de mexer na equação: tudo o que está dentro de um logaritmo tem de ser positivo.
2. Juntar os logaritmos num só, com as propriedades, e passar à forma exponencial.
3. Confirmar as soluções na condição. Muitas vezes uma das soluções não serve.

O passo 3 é o que separa quem acerta de quem escolhe a alternativa errada. Vê o exercício 4 abaixo: a equação do segundo grau dá duas soluções, mas uma delas tornava negativo o que está dentro do logaritmo.

Exercícios resolvidos

1. Calcula \(\log_2 32 + \log_3 \frac{1}{9}\).

   Ver resolução

   \(2^5 = 32\) e \(3^{-2} = \frac{1}{9}\), por isso:

   \[\begin{gathered}\log_2 32 + \log_3 \tfrac{1}{9} = 5 + (-2) \\ = 3\end{gathered}\]

2. Sabendo que \(\log 2 \approx 0{,}301\), calcula \(\log 8\) e \(\log 5\).

   Ver resolução

   \(\log 8 = \log 2^3 = 3 \log 2 \approx 0{,}903\). Para o 5, usa-se \(5 = \frac{10}{2}\):

   \[\begin{gathered}\log 5 = \log 10 - \log 2 \approx 1 - 0{,}301 \\ = 0{,}699\end{gathered}\]

3. Resolve \(\log_2(x + 3) = 4\).

   Ver resolução

   Condição: \(x + 3 \gt 0\), ou seja, \(x \gt -3\). Pela definição:

   \[x + 3 = 2^4 \;\Rightarrow\; x = 13\]

   Como \(13 \gt -3\), a solução é \(x = 13\).

4. Resolve \(\log x + \log(x - 3) = 1\).

   Ver resolução

   Condição: \(x \gt 0\) e \(x \gt 3\), ou seja, \(x \gt 3\). Junta-se num só logaritmo:

   \[\begin{gathered}\log\big(x(x - 3)\big) = 1 \\ \Rightarrow x^2 - 3x = 10 \\ \Rightarrow x = 5 \ \vee\ x = -2\end{gathered}\]

   Só \(x = 5\) cumpre a condição. O \(-2\) é a armadilha.

5. Encontra a função inversa de \(f(x) = \log_5(x + 1)\).

   Ver resolução

   Escreve-se \(y = \log_5(x + 1)\), passa-se à forma exponencial e isola-se \(x\):

   \[5^y = x + 1 \;\Rightarrow\; x = 5^y - 1\]

   Trocando os nomes: \(f^{-1}(x) = 5^x - 1\).

Ligações úteis para continuar

Os logaritmos andam sempre de mãos dadas com as exponenciais e com as derivadas: a derivada de \(\ln u\) é \(\frac{u^{\prime}}{u}\), e é uma das mais pedidas no exame. Revê-a no nosso guia de fórmulas que mais saíram no exame do IFP e treina com as provas completas do arquivo de exames do IFP.