Equação do 2.º Grau: Fórmula Resolvente, Soma e Produto das Raízes

A equação do 2.º grau tem a forma \(ax^2 + bx + c = 0\), com \(a \ne 0\). Pode ter duas soluções, uma ou nenhuma (nos números reais). Nos exames, raramente aparece com este aspecto arrumado: aparece dentro de problemas de áreas, de combinações ou de exponenciais. Reconhecê-la é metade da resolução.

Antes da fórmula: os atalhos das equações incompletas

Se falta um dos termos, não precisas da fórmula resolvente:

Na segunda forma, nunca dividas os dois lados por \(x\): perdes a solução \(x = 0\).

A fórmula resolvente

Para a equação completa, calcula-se primeiro o discriminante:

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

e depois as soluções:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Exemplo: \(2x^2 - 3x - 2 = 0\). Tens \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = -2\), e \(\Delta = 9 + 16 = 25\):

\[\begin{gathered}x = \frac{3 \pm 5}{4} \\ \Rightarrow x = 2 \ \vee\ x = -\frac{1}{2}\end{gathered}\]

Cuidado com o \(-b\) quando \(b\) já é negativo: \(-(-3) = 3\).

O que o discriminante te diz

Soma e produto das raízes

Sem resolver a equação, sabes quanto somam e quanto dá o produto das raízes:

\[\begin{gathered}S = x_1 + x_2 \\ = -\frac{b}{a} \qquad P \\ = x_1 \cdot x_2 \\ = \frac{c}{a}\end{gathered}\]

Serve para conferir soluções e para perguntas como a pergunta 10 de 2025: na equação \(px^2 + 2(q - 1)x + 6 = 0\), a soma é \(-3\) e o produto é 3. Do produto, \(\frac{6}{p} = 3\), logo \(p = 2\); da soma, \(-\frac{2(q - 1)}{2} = -3\), logo \(q = 4\).

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A equação do 2.º grau escondida noutras perguntas do IFP

É aqui que o tema rende mais pontos. Nos exames que resolvemos, a equação apareceu disfarçada várias vezes:

• Quadrado de um binómio. Na pergunta 12 de 2025, o lado de um quadrado aumenta \(x\) cm e a área passa a 49: \((5 + x)^2 = 49\). Tira-se a raiz: \(5 + x = 7\), \(x = 2\). A solução \(5 + x = -7\) não serve, porque é uma medida.
• Combinações. Na pergunta 33 de 2025, \(\frac{x!}{2!(x - 2)!} = 45\) simplifica para \(\frac{x(x - 1)}{2} = 45\), ou seja, \(x^2 - x - 90 = 0\), com \(x = 10\).
• Apertos de mão. Na pergunta 35 de 2025, com \(n\) pessoas há \(\frac{n(n - 1)}{2}\) apertos de mão. Se houve 15: \(n^2 - n - 30 = 0\), e \(n = 6\).
• Exponenciais. Na pergunta 17 de 2024, \(4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0\). Com \(t = 2^x\), fica \(t^2 - 5t + 4 = 0\), com \(t = 1\) ou \(t = 4\), ou seja, \(x = 0\) ou \(x = 2\).

Em todos estes casos há uma solução que não serve (negativa, ou fora do contexto). Antes de escolher a alternativa, pergunta-te se a solução faz sentido no problema.

Exercícios resolvidos

1. Resolve \(x^2 - 7x + 10 = 0\).

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   \(\Delta = 49 - 40 = 9\), por isso:

   \[\begin{gathered}x = \frac{7 \pm 3}{2} \\ \Rightarrow x = 5 \ \vee\ x = 2\end{gathered}\]

   Confirma com soma e produto: \(5 + 2 = 7\) e \(5 \times 2 = 10\).

2. Resolve \(3x^2 - 12 = 0\).

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   Incompleta, sem termo em \(x\):

   \[x^2 = 4 \;\Rightarrow\; x = 2 \ \vee\ x = -2\]

3. Resolve \(2x^2 + 5x = 0\).

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   Incompleta, sem termo independente. Põe-se \(x\) em evidência:

   \[\begin{gathered}x(2x + 5) = 0 \\ \Rightarrow x = 0 \ \vee\ x = -\frac{5}{2}\end{gathered}\]

4. Para que valor de \(m\) a equação \(x^2 - 6x + m = 0\) tem uma só raiz (dupla)?

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   Raiz dupla quando \(\Delta = 0\):

   \[36 - 4m = 0 \;\Rightarrow\; m = 9\]

5. Um terreno rectangular tem 3 m a mais de comprimento do que de largura e 40 m² de área. Quais são as medidas?

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   Largura \(x\), comprimento \(x + 3\):

   \[\begin{gathered}x(x + 3) = 40 \\ \Rightarrow x^2 + 3x - 40 = 0 \\ \Rightarrow x = 5 \ \vee\ x = -8\end{gathered}\]

   Uma medida não pode ser negativa: o terreno tem 5 m por 8 m.

A seguir

O gráfico de \(y = ax^2 + bx + c\) é uma parábola, e as soluções da equação são os pontos onde ela corta o eixo dos \(x\). Para resolver inequações do 2.º grau ou estudar o sinal de uma função, vais precisar disto. A fórmula de soma e produto e a regra das combinações estão também na folha de fórmulas do exame do IFP.