Teorema de Pitágoras: Fórmula, Exemplos e Exercícios Resolvidos

Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Em fórmula:

\[a^2 = b^2 + c^2\]

O teorema só funciona em triângulos com um ângulo recto (90°), e só se souberes qual dos lados é a hipotenusa. É por aí que começa qualquer problema.

Como identificar a hipotenusa

A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo recto, e é sempre o maior dos três. Os outros dois, que formam o ângulo recto, são os catetos. Se a figura vier rodada ou desenhada fora de escala, procura o pequeno quadrado que marca os 90° e olha para o lado do outro lado do triângulo.

Os três tipos de pergunta

1. Conheces os catetos e procuras a hipotenusa

Somam-se os quadrados e tira-se a raiz. Com catetos de 3 e 4:

\[a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\]

2. Conheces a hipotenusa e um cateto

Aqui subtrai-se. Com hipotenusa 13 e um cateto 5:

\[c = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12\]

3. Conheces os três lados e queres saber se o triângulo é rectângulo

É o teorema ao contrário (o recíproco): se o quadrado do maior lado for igual à soma dos quadrados dos outros dois, o triângulo é rectângulo. Lados 6, 8 e 10: \(36 + 64 = 100\). É rectângulo.

Ternos pitagóricos que poupam tempo

Alguns trios de números inteiros cumprem o teorema e aparecem muito nos exames, porque dão contas certas. Se reconheceres um, nem precisas de calcular:

Fórmulas que saem do teorema

Várias fórmulas de geometria são o Teorema de Pitágoras já aplicado. Vale a pena reconhecê-las:

• Diagonal do quadrado de lado \(l\): \(d = l\sqrt{2}\), porque \(d^2 = l^2 + l^2\).
• Diagonal do rectângulo: \(d = \sqrt{b^2 + h^2}\).
• Altura do triângulo equilátero de lado \(l\): \(h = \frac{l\sqrt{3}}{2}\). É esta fórmula que resolve a pergunta 11 de 2024, sobre o apótema de um hexágono regular, que é feito de seis triângulos equiláteros.
• Distância entre dois pontos: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\), o teorema aplicado num referencial.

Como o Teorema de Pitágoras aparece no exame do IFP

Na pergunta 14 de 2025, pede-se a altura de um trapézio rectângulo com bases 5 e 11 e lado oblíquo 10:

O truque é traçar a altura a partir do vértice da base menor. Forma-se um triângulo rectângulo com hipotenusa 10 e um cateto igual à diferença das bases, \(11 - 5 = 6\):

\[\begin{gathered}x^2 + 6^2 = 10^2 \\ \Rightarrow x^2 = 64 \\ \Rightarrow x = 8\end{gathered}\]

Repara que é o terno 6, 8, 10. Quem o reconhece responde em segundos.

Na mesma prova, a pergunta 13 usa uma relação vizinha: num triângulo rectângulo, a altura relativa à hipotenusa \(h\) e os dois segmentos \(m\) e \(n\) em que ela divide a hipotenusa cumprem \(h^2 = m \cdot n\). Com segmentos 9 e 4, a altura é 6.

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O erro que mais se vê

Somar os lados em vez dos quadrados: com catetos 3 e 4, a hipotenusa não é 7. Outro erro frequente é somar os quadrados quando a incógnita é um cateto. Antes de calcular, pergunta-te: o lado que procuro é o maior? Se for, somas. Se não for, subtrais.

Exercícios resolvidos

1. Os catetos de um triângulo rectângulo medem 9 cm e 12 cm. Quanto mede a hipotenusa?

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   \[\begin{gathered}a^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \\ \Rightarrow a = 15 \text{ cm}\end{gathered}\]

2. Uma escada de 5 m está encostada a uma parede, com o pé a 1,4 m da parede. A que altura toca na parede?

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   A escada é a hipotenusa:

   \[\begin{gathered}h^2 = 5^2 - 1{,}4^2 = 25 - 1{,}96 = 23{,}04 \\ \Rightarrow h = 4{,}8 \text{ m}\end{gathered}\]

3. Um triângulo com lados 7, 24 e 25 é rectângulo?

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   Testa-se com o maior lado como hipotenusa: \(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2\). Sim, é rectângulo.

4. Qual é a diagonal de um rectângulo com 6 m por 8 m?

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   \[\begin{gathered}d = \sqrt{6^2 + 8^2} \\ = \sqrt{100} \\ = 10 \text{ m}\end{gathered}\]

5. Um quadrado tem área 50 m². Quanto mede a sua diagonal?

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   O lado é \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) m, e a diagonal de um quadrado é \(l\sqrt{2}\):

   \[d = 5\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 10 \text{ m}\]

Onde treinar mais geometria

O Teorema de Pitágoras costuma aparecer junto com áreas, perímetros e ângulos. Para ver todas as fórmulas de geometria que saíram nos exames, consulta a folha de fórmulas do exame do IFP, e resolve as perguntas de geometria das provas completas no arquivo de exames do IFP.