Derivadas: Regras, Tabela de Derivadas e Exercícios Resolvidos

A derivada mede quanto uma função muda quando o \(x\) muda um bocadinho. No gráfico, é o declive da recta tangente num ponto. Na prática dos exames, derivar é aplicar uma tabela e quatro regras, e é isso que vais encontrar a seguir, antes de qualquer explicação mais longa.

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Tabela de derivadas

A coluna da direita é a que mais se usa nos exames: quase nunca aparece \(\ln x\) sozinho, aparece \(\ln(3x^2)\) ou \(\cos(x^3)\). Nesses casos, chama-se \(u\) à expressão de dentro e multiplica-se pela sua derivada \(u^{\prime}\).

Função	Derivada	Se for de \(u\)
\(k \ (\text{constante})\)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\,x^{n-1}\)	\(n\,u^{n-1}\,u^{\prime}\)
\(\sqrt{x}\)	\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)	\(\dfrac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}}\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(-\dfrac{1}{x^2}\)	\(-\dfrac{u^{\prime}}{u^2}\)
\(e^x\)	\(e^x\)	\(u^{\prime}\,e^u\)
\(a^x\)	\(a^x \ln a\)	\(u^{\prime}\,a^u \ln a\)
\(\ln x\)	\(\dfrac{1}{x}\)	\(\dfrac{u^{\prime}}{u}\)
\(\log_a x\)	\(\dfrac{1}{x \ln a}\)	\(\dfrac{u^{\prime}}{u \ln a}\)
\(\operatorname{sen} x\)	\(\cos x\)	\(u^{\prime} \cos u\)
\(\cos x\)	\(-\operatorname{sen} x\)	\(-u^{\prime} \operatorname{sen} u\)
\(\operatorname{tg} x\)	\(\dfrac{1}{\cos^2 x}\)	\(\dfrac{u^{\prime}}{\cos^2 u}\)

As quatro regras de derivação

Regra	Fórmula
Soma	\((u + v)^{\prime} = u^{\prime} + v^{\prime}\)
Constante a multiplicar	\((k\,u)^{\prime} = k\,u^{\prime}\)
Produto	\((u\,v)^{\prime} = u^{\prime}v + u\,v^{\prime}\)
Quociente	\(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - u\,v^{\prime}}{v^2}\)

A ordem no quociente importa: primeiro a derivada de cima vezes a função de baixo. Trocar a ordem muda o sinal do resultado, e o exame costuma ter essa resposta errada entre as alternativas.

A regra da cadeia, explicada com um exemplo

Queremos derivar \(f(x) = \ln(3x^2)\). A função de fora é o logaritmo; a de dentro é \(u = 3x^2\), com \(u^{\prime} = 6x\). Pela tabela:

\[\begin{gathered}f^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}}{u} \\ = \frac{6x}{3x^2} \\ = \frac{2}{x}\end{gathered}\]

Este exemplo é a pergunta 38 do exame do IFP de 2022. O erro mais comum é parar em \(\frac{1}{3x^2}\), esquecendo de multiplicar por \(u^{\prime}\).

Outro exemplo do IFP, com sinal a complicar: na pergunta 39 de 2024, \(f(x) = -\cos(x^3)\). A derivada de \(\cos u\) é \(-u^{\prime}\operatorname{sen} u\), e o sinal da frente troca outra vez:

\[\begin{gathered}f^{\prime}(x) = -\left(-3x^2 \operatorname{sen}(x^3)\right) \\ = 3x^2 \operatorname{sen}(x^3)\end{gathered}\]

A definição de derivada (pelo limite)

A tabela vem toda desta definição. A derivada de \(f\) no ponto \(a\) é:

\[f^{\prime}(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\]

O IFP pergunta isto com frequência, mas de forma disfarçada: dá o limite e pede o valor. Quando vires um limite com este formato, não calcules o limite à mão, deriva a função e substitui. Na pergunta 40 de 2022, com \(f(x) = x^2\) e \(a = 2\), a resposta é \(f^{\prime}(2) = 2 \times 2 = 4\). Em 2025, a pergunta 39 repetiu a ideia com \(a = 1\), e a resposta certa (2) nem estava nas alternativas.

Para que servem as derivadas nos exames

Encontrar máximos e mínimos

Nos pontos mais altos e mais baixos de uma curva suave, a tangente é horizontal, ou seja, a derivada é zero. Na pergunta 18 de 2022 pede-se o número positivo cuja soma com o inverso é mínima: \(S(x) = x + \frac{1}{x}\), \(S^{\prime}(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = 0\), e \(x = 1\).

Para distinguir máximo de mínimo, usa a segunda derivada: negativa num máximo, positiva num mínimo. Na pergunta 38 de 2025, \(f(x) = x^3 - 27x\) tem \(f^{\prime}(x) = 3x^2 - 27 = 0\) em \(x = \pm 3\), e o máximo é em \(x = -3\), porque \(f^{\prime\prime}(-3) = -18\).

Saber onde a função cresce ou decresce

Onde \(f^{\prime}(x) \gt 0\) a função cresce; onde \(f^{\prime}(x) \lt 0\), decresce. Na pergunta 33 de 2024, \(f^{\prime}(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\) é positiva fora das raízes, e a função cresce em \(\left]-\infty;\ 0\right[ \cup \left]2;\ +\infty\right[\). A pergunta 40 do mesmo ano usa a mesma ideia sem nenhuma conta: numa parábola virada para baixo com vértice em \(x = 3\), a derivada é negativa depois do vértice, por isso \(f^{\prime}(4) \lt 0\).

Exercícios resolvidos

1. Deriva \(f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7x - 2\).

   Ver resolução

   Deriva-se termo a termo, com a regra da potência:

   \[f^{\prime}(x) = 12x^2 - 10x + 7\]

2. Deriva \(f(x) = x^2 \ln x\).

   Ver resolução

   É um produto, com \(u = x^2\) e \(v = \ln x\):

   \[\begin{gathered}f^{\prime}(x) = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} \\ = 2x \ln x + x\end{gathered}\]

3. Deriva \(f(x) = \sqrt{3x + 1}\).

   Ver resolução

   Raiz de uma função: \(u = 3x + 1\) e \(u^{\prime} = 3\).

   \[f^{\prime}(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}\]

4. Deriva \(f(x) = e^{2x} \operatorname{sen} x\).

   Ver resolução

   Produto, e o primeiro factor pede a regra da cadeia:

   \[f^{\prime}(x) = 2e^{2x} \operatorname{sen} x + e^{2x} \cos x\]

5. Em que ponto a função \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) tem o mínimo?

   Ver resolução

   A derivada anula-se no extremo: \(f^{\prime}(x) = 2x - 6 = 0\), logo \(x = 3\). O valor mínimo é \(f(3) = 9 - 18 + 5 = -4\), no ponto \((3;\ -4)\).

Como treinar derivadas para o exame

Primeiro decora a tabela e as quatro regras. Depois resolve, sem consultar, as perguntas de derivadas dos exames dos últimos anos: costumam ser as últimas da prova, entre a 38 e a 40, e voltam todos os anos com pequenas mudanças, como mostramos no artigo sobre as perguntas que se repetem nos exames do IFP. A regra do quociente e a regra da cadeia estão também na folha das fórmulas que mais saíram.