Progressão Aritmética e Geométrica: Termo Geral e Soma, com Exercícios

Das fórmulas que saíram nos exames de Matemática do IFP de 2022 a 2025, a da progressão aritmética foi a única que apareceu nas quatro provas. Isso faz das progressões um dos temas mais seguros para estudar: as perguntas são previsíveis e resolvem-se com duas ou três fórmulas.

PA ou PG? O teste dos dez segundos

Olha para os primeiros termos e faz duas contas:

• Se a diferença entre termos seguidos é sempre a mesma, é uma progressão aritmética (PA). Em 4, 7, 10, 13, soma-se sempre 3.
• Se o quociente entre termos seguidos é sempre o mesmo, é uma progressão geométrica (PG). Em 3, 6, 12, 24, multiplica-se sempre por 2.

Se nenhuma das duas se mantém, é outra sucessão, e só podes usar a regra que o enunciado der.

As fórmulas, lado a lado

Um atalho útil: entre dois termos de uma PA, a diferença é o número de passos vezes a razão. Do 2.º ao 5.º termo há 3 passos, por isso \(a_5 = a_2 + 3r\). Não precisas de voltar ao primeiro termo.

Sucessões definidas por recorrência

Às vezes o enunciado não dá o termo geral, dá uma regra que liga cada termo ao anterior, por exemplo \(a_{n+1} = a_n + 5\). Isto é uma PA de razão 5. Já \(a_{n+1} = 5 \cdot a_n\) é uma PG de razão 5. Para responder, calcula os termos um a um a partir do primeiro.

As perguntas de progressões no exame do IFP

Estas são as perguntas que saíram, por ano. Repara como se repetem as mesmas ideias:

• 2022, soma de uma PA. Na pergunta 28, uma sucessão de 7 termos começa em 2 com diferença 4. O último é \(2 + 6 \times 4 = 26\) e a soma é \(\frac{(2 + 26) \times 7}{2} = 98\).
• 2023, a mesma pergunta com outros números. Na pergunta 28, 6 termos começam em 3 com diferença 4: o último é 23 e a soma é \(\frac{(3 + 23) \times 6}{2} = 78\).
• 2024, recorrência. Na pergunta 27, \(a_n = a_{n-1} + 5\) e \(a_2 = 17\). Do 2.º ao 5.º termo há 3 passos: \(a_5 = 17 + 15 = 32\).
• 2024, termo geral de uma PG. Na pergunta 28, a razão é 0,3 e \(u_2 = 0{,}09\). O primeiro termo é \(0{,}09 \div 0{,}3 = 0{,}3\), e \(u_n = 0{,}3 \times 0{,}3^{n-1}\).
• 2024, termo geral de uma PA. Na pergunta 29, a sucessão 16, 10, 4, −2 desce 6 de cada vez: \(a_n = 16 + (n - 1)(-6) = 22 - 6n\).
• 2025, termos em falta. Na pergunta 26, em \((-7;\ x;\ 11;\ y)\), de −7 a 11 há dois passos: \(2r = 18\), \(r = 9\), \(x = 2\) e \(y = 20\).
• 2025, PG por recorrência. Na pergunta 25, \(a_1 = -1\) e \(a_{n+1} = 5a_n\) dão −1, −5, −25, −125, −625. Nenhuma das alternativas tinha esta sequência, o que mostra a importância de confiar na tua conta.

Exercícios resolvidos

1. Numa PA, \(a_1 = 5\) e \(r = 3\). Qual é o 20.º termo e a soma dos 20 primeiros?

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   \[\begin{gathered}a_{20} = 5 + 19 \times 3 \\ = 62 \qquad S_{20} \\ = \frac{(5 + 62) \times 20}{2} \\ = 670\end{gathered}\]

2. Numa PA, \(a_3 = 14\) e \(a_8 = 39\). Qual é a razão?

   Ver resolução

   Do 3.º ao 8.º termo há 5 passos da razão:

   \[5r = 39 - 14 = 25 \;\Rightarrow\; r = 5\]

3. Numa PG, \(u_1 = 3\) e \(r = 2\). Qual é o 6.º termo e a soma dos 6 primeiros?

   Ver resolução

   \[\begin{gathered}u_6 = 3 \times 2^5 \\ = 96 \qquad S_6 \\ = 3 \times \frac{1 - 2^6}{1 - 2} \\ = 189\end{gathered}\]

4. Os números \(x - 1\), \(x + 3\) e \(3x - 1\) estão em PA, por esta ordem. Quanto vale \(x\)?

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   Em PA, o termo do meio é a média dos vizinhos:

   \[\begin{gathered}2(x + 3) = (x - 1) + (3x - 1) \\ \Rightarrow 2x + 6 = 4x - 2 \\ \Rightarrow x = 4\end{gathered}\]

   Os termos são 3, 7 e 11.

5. Escreve os quatro primeiros termos de \(a_1 = 2\), \(a_{n+1} = 3a_n - 1\).

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   Aplica-se a regra a partir do primeiro: \(a_2 = 5\), \(a_3 = 14\), \(a_4 = 41\). Não é PA nem PG.

Onde continuar

Como as progressões saíram em todos os anos, vale a pena resolver as perguntas acima sem olhar para a solução e cronometrar: cada uma deve levar menos de dois minutos. As fórmulas estão também na folha das fórmulas que mais saíram no exame do IFP, e o padrão de repetição está explicado no artigo sobre as perguntas que se repetem nos exames.