Limites: Limites Notáveis, Indeterminações e Exercícios Resolvidos

O limite de uma função diz de que valor \(f(x)\) se aproxima quando \(x\) se aproxima de um certo número, ou cresce sem fim. Escreve-se \(\lim_{x \to a} f(x)\). Nos exames de admissão, calcular um limite é quase sempre uma questão de reconhecer o tipo e aplicar a técnica certa. O cálculo em si é curto.

Que tipo de limite é este?

Começa sempre por substituir o \(x\) pelo valor para onde tende. O que obténs diz-te o caminho:

As formas \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\infty - \infty\) e \(1^\infty\) chamam-se indeterminações: não significam que o limite não existe, significam que ainda não sabes qual é.

Indeterminação 0/0: factorizar

Se o numerador e o denominador se anulam no mesmo ponto, têm um factor comum. Encontra-o e corta-o:

\[\begin{gathered}\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \\ = \lim_{x \to 1}(x + 1) \\ = 2\end{gathered}\]

Este é exactamente o limite da pergunta 39 de 2025. Repara também que é a definição da derivada de \(x^2\) em \(x = 1\), assunto que explicamos no guia de derivadas.

Infinito sobre infinito: comparar os graus

Com polinómios, quando \(x \to \infty\), só conta o termo de maior grau de cima e de baixo. Há três casos:

• Mesmo grau: o limite é o quociente dos coeficientes desses termos. Na pergunta 29 de 2022, \(\frac{16x^2 + x + 1}{4x^2 + 1} \to \frac{16}{4} = 4\). Na pergunta 30 de 2024, \(\frac{x^2 - x + 4}{x^2 + 2} \to 1\).
• Grau de cima maior: o limite é infinito. Na pergunta 27 de 2022, \(\frac{(n^3 - 1)^2}{n^2 - 6n}\) tem grau 6 em cima e 2 em baixo: \(+\infty\).
• Grau de baixo maior: o limite é 0.

A pergunta 26 de 2022 testa a mesma regra só com letras: \(\lim \frac{an}{bn + c} = \frac{a}{b}\).

Infinito menos infinito com raízes: o conjugado

Na pergunta 37 de 2025, \(\sqrt{x^2 + 3x + 2} - x\) dá \(\infty - \infty\). Multiplica-se e divide-se pelo conjugado, \(\sqrt{x^2 + 3x + 2} + x\), e a raiz desaparece do numerador:

\[\frac{3x + 2}{\sqrt{x^2 + 3x + 2} + x} \to \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2}\]

Limites notáveis: o número e

O limite notável que mais sai nos exames é este:

\[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k\]

Na pergunta 30 de 2022, o expoente é \(-x\), por isso o resultado é \(e^{-8}\) em vez de \(e^8\). Na pergunta 31 de 2024, é preciso primeiro reescrever a base: \(\frac{x + 1}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}\), e o limite é \(e^2\).

Há outros limites notáveis, como \(\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x} = 1\), mas nos exames do IFP que resolvemos foi o do número \(e\) que caiu, e caiu em três anos seguidos.

Lê tambémTeorema de Pitágoras: Fórmula, Exemplos e Exercícios ResolvidosLê tambémDerivadas: Regras, Tabela de Derivadas e Exercícios Resolvidos

Limites laterais e continuidade

Em funções definidas por ramos, o limite num ponto de mudança calcula-se de cada lado. Se os dois limites laterais forem iguais, o limite existe; se forem diferentes, não existe.

Na pergunta 37 de 2022, pede-se o limite à esquerda de 1 numa função que vale 2 para \(x \le 1\) e \(x + 3\) para \(x \gt 1\). À esquerda usa-se o ramo de cima: o limite é 2. À direita seria 4, por isso o limite em \(x = 1\) não existe.

Uma função é contínua num ponto quando o limite existe e é igual ao valor da função. É isso que se usa na pergunta 37 de 2024 para encontrar o \(k\) que "cola" os dois ramos, como no exercício 5 abaixo.

Exercícios resolvidos

1. Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}\).

   Ver resolução

   Substituindo dá \(\frac{0}{0}\). Factoriza-se o numerador:

   \[\begin{gathered}\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3 \\ \Rightarrow \lim_{x \to 3}(x + 3) = 6\end{gathered}\]

2. Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^3 - x}{2x^3 + 4x^2}\).

   Ver resolução

   O mesmo grau (3) em cima e em baixo: o limite é o quociente dos coeficientes de \(x^3\).

   \[\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^3 - x}{2x^3 + 4x^2} = \frac{5}{2}\]

3. Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{x^4 - 3}\).

   Ver resolução

   O grau de baixo é maior, por isso a fracção vai para zero: o limite é 0.

4. Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2x}\).

   Ver resolução

   Pelo limite notável, \(\left(1 + \frac{3}{x}\right)^x \to e^3\). Com o expoente \(2x\), eleva-se ao quadrado:

   \[\begin{gathered}\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2x} = (e^3)^2 \\ = e^6\end{gathered}\]

5. Para que valor de \(k\) a função \(f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x \le 2 \\ kx - 3 & x \gt 2 \end{cases}\) é contínua em \(x = 2\)?

   Ver resolução

   Os dois ramos têm de dar o mesmo valor em \(x = 2\):

   \[\begin{gathered}2^2 + 1 = 2k - 3 \\ \Rightarrow 5 = 2k - 3 \\ \Rightarrow k = 4\end{gathered}\]

Para fixar

As perguntas de limites saem todos os anos na prova do IFP, de 2022 a 2024 entre a 26 e a 31 e em 2025 na 37 e na 39, como mostramos no artigo sobre as perguntas que se repetem nos exames. A regra dos graus e o limite do número \(e\) estão também na folha de fórmulas que mais saíram.